GOSPODARKA EKONOMIA NOWE TECHNOLOGIE
Zapamiętaj mnie Zapomniałeś hasło?

Probabilistyczne złudzenia finansowe. Dlaczego nasze oczekiwania rozmijają się z rzeczywistością?

7 czerwca 2020, 23:42 / Opracowanie autorskie Szymona Wieczorka i Macieja Wysockiego. Zdjęcie: pixabay
Probabilistyczne złudzenia finansowe. Dlaczego nasze oczekiwania rozmijają się z rzeczywistością?

Posiadacze oszczędności z reguły są zainteresowani ich pomnażaniem w czasie, o ile mają ku temu sposobność. Osoby mające mniej wiedzy finansowej i skłonności do ryzyka przerzucają to zadanie na banki oraz towarzystwa funduszy inwestycyjnych. Z kolei te odważniejsze chcą podejmować decyzje inwestycyjne samodzielnie i często są skłonne wybrać bardziej ryzykowne rynki. Co łączy oba typy ludzi? Poszukiwanie optymalnego portfela inwestycyjnego z perspektywy akceptowalnego poziomu ryzyka. Znane wśród doradców finansowych powiedzenie mówi, że „nie należy wkładać wszystkich jaj do jednego koszyka”. Dzięki dywersyfikacji inwestycji oszczędzający może zwiększać zysk i zmniejszać ryzyko związane z posiadaniem określonego portfela aktywów.

Warto zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy dwoma pojęciami – ryzykiem a niepewnością. To pierwsze oznacza, że określona decyzja prowadzi do konsekwencji, które można reprezentować za pomocą zadanego rozkładu prawdopodobieństwa. Pojęcie niepewności oznacza zaś, że taka reprezentacja jest utrudniona lub wręcz niemożliwa. W warunkach niepewności decydenci korzystają z pewnych uproszczonych reguł decyzyjnych (zwanych heurystykami), które stanowią wówczas plan postępowania. Powstają one na skutek indywidualnych obserwacji i wynikającej z nich intuicji, którą najlepiej określa termin ”chłopski rozum”. I jak to z „chłopskim rozumem” bywa, chociaż narzędzia powstałe przy jego udziale wydają się bardzo użyteczne, to równie często mogą prowadzić do popełniania różnego rodzaju błędów.

W teorii podejmowania decyzji można wyróżnić dwa podejścia: normatywne (racjonalne) i opisowe (behawioralne). Podejście behawioralne analizuje, w jaki sposób ludzie dochodzą do podjęcia konkretnej decyzji, zaś podejście normatywne koncentruje się na jej rezultatach. Normatywiści wprowadzają do użytku liczby, dzięki którym można porównywać skutki wielu decyzji i zdarzeń losowych. Wśród matematycznych pojęć szczególnie ukochanych przez normatywistów należy wyróżnić prawdopodobieństwo, wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Pojęcie prawdopodobieństwa zostało odkryte w XVII w. i jest związane z nazwiskami takich matematyków jak m.in. Christiaan Huygens, Blaise Pascal czy Pierre de Fermat. Udało im się stworzyć matematyczny zapis dla sytuacji, w których taka sama przyczyna powoduje różne rezultaty. Pozwoliło to w krótkim czasie do sformułowania kryterium decyzyjnego pomiędzy ryzykownymi alternatywami, które nazwane zostało wartością oczekiwaną (wartością średnią). Wartość oczekiwana to suma poszczególnych wypłat (wartości liczbowych przyporządkowanych rezultatom) przemnożona przez prawdopodobieństwo ich otrzymania. Innymi słowy, jest to przeniesienie średniej arytmetycznej do świata prawdopodobieństwa.

Kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej dość szybko spotkało się z krytyką naukową – matematycy szybko dostrzegli jego poważne ograniczenia. Jednym z pierwszych naukowców rozważających mankamenty tej metody był Daniel Bernoulli, który w 1738 r., stworzył hipotetyczną grę będącą eksperymentem myślowym zaproponowanym przez jego kuzyna Nicolasa. Owa gra zaproponowana przez Nicolasa Bernoulliego miała następujące zasady. Uczestnik uiszczał opłatę wstępną, dzięki czemu mógł rzucać monetą i powtarzać rzuty dopóki nie wypadła reszka oznaczająca koniec gry. Każde wypadnięcie orła powodowało podwojenie wypłaty, wynoszącej 2 dukaty przy jego pierwszym pojawieniu się. Jeśli liczbę rzutów monetą aż do osiągnięcia reszki oznaczymy jako k, wówczas wygrana wyniesie 2k-1 dukatów. Przykładowo, przy 6 rzutach monetą wygrana wyniesie 32 dukaty. Bernoulli zadał więc następujące pytanie: ile maksymalnie dukatów warto zapłacić za uczestnictwo w takiej loterii? Kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej udziela nam jednoznacznej, jednak niezbyt intuicyjnej i użytecznej odpowiedzi. Zgodnie z tym kryterium za udział w takiej grze warto byłoby zapłacić nieskończenie wielką liczbę dukatów. Za każdym wypadnięciem orła wypłata rosła dwukrotnie, ale też dwukrotnie malało prawdopodobieństwo powtórzenia wyniku losowania malało dwukrotnie. Tym samym wartość oczekiwana takiej gry jest nieskończoną sumą jedynek. Jednakże w ujęciu behawioralnym (intuicyjnym) takie rozwiązanie wydaje się budzić wątpliwości. Duże wypłaty są astronomicznie nieprawdopodobne do uzyskania. Przykładowo, wypłata 32 dukatów nastąpiłaby z prawdopodobieństwem 2-6~1.56%, zaś wypłata nieco ponad miliona dukatów nastąpiłaby z prawdopodobieństwem mniejszym niż jeden do miliona. Ponadto, wygrana 1024 dukatów ma zdecydowanie mniejszą wartość dla posiadacza miliona dukatów niż dla posiadacza dziesięciu dukatów. Spostrzeżenie to doprowadziło do wniosku, że funkcja użyteczności nie może być reprezentowana przez jednostki pieniężne. Zamiast tego funkcja musi oddawać poziom użyteczności gracza. Owe rozważania przeszły do historii matematyki jako paradoks petersburski. Z perspektywy czasu można zaryzykować stwierdzenie, że prace Bernoulliego stanowiły fundamenty pod finanse behawioralne.

W literaturze przedmiotu funkcja użyteczności jest reprezentowana wklęsłą krzywą. Jest to krzywa, której dowolne dwa punkty połączone ze sobą znajdują się pod nią.  Dlaczego właśnie ta krzywa reprezentuje funkcję użyteczności? Przede wszystkim ze względu na jej matematyczne cechy. Druga pochodna tej funkcji przyjmuje prawie zawsze wartość ujemną. Ta własność pozwala krzywym wklęsłym reprezentować zarówno malejącą użyteczność krańcową z konsumpcji dodatkowej jednostki produktu, jak i awersję do ryzyka. Analogicznie, krzywa wypukła charakteryzuje się tym, że dowolne dwa punkty połączone ze sobą znajdują się nad nią. Jednak ze względu na to, że jej druga pochodna jest prawie zawsze dodatnia, wypukłość funkcji użyteczności, poza reprezentacją skłonności do ryzyka, jest rzadko wykorzystywana w ekonomii ze względu na sprzeczne z rzeczywistością wyniki (wśród nich jest m. in. dążenie do nieskończonej konsumpcji).

Związek między wklęsłością funkcji użyteczności a awersją do ryzyka implikuje pewne konsekwencje dla preferencji uczestników loterii. Gdyby uczestnik cechujący się awersją do ryzyka mógł wybrać między otrzymaniem wartości oczekiwanej wypłaty z loterii a otrzymaniem losu na loterię, wybrałby to pierwsze. Analogicznie, decydent charakteryzujący się skłonnością do ryzyka w tej sytuacji wybrałby otrzymanie losu na loterię. Chociaż rozwiązanie paradoksu petersburskiego zostało zaproponowane w XVIII w., to powszechna akceptacja dla implementacji funkcji użyteczności dla potrzeb ekonomii nastąpiła dopiero w połowie XX w. za sprawą Johna von Neumanna i Oscara Morgensterna.  

Konkurencyjne wobec Bernoulliego próby rozwiązania paradoksu, które odrzucały funkcję użyteczności, jako rozwiązanie behawioralnej anomalii podawały istnienie „moralnych oczekiwań” uczestników loterii. Z perspektywy czasu można pokusić się o stwierdzenie, że chociaż nie wytrzymały one krytyki naukowej, to wydają się stanowić interesującą propozycję z punktu widzenia psychologii zachowań konsumenckich. W teorii ekonomii dość często a priori przyjmuje się założenie o racjonalności decydentów, przez którą rozumie się dążenie do maksymalizacji użyteczności. W teorii podejmowania decyzji poprzez zachowanie racjonalne decydenta w warunkach ryzyka rozumiemy to, że jednostka postępuje zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności. Naturalnym następstwem tego założenia jest pojawiające się pytanie: czy rzeczywiście przyjmując postulowane aksjomaty, można opisać zachowanie inwestorów na rynkach finansowych w realnych sytuacjach zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności?

Chociaż podejście zaproponowane przez von Neumanna i Morgensterna może stanowić cenne narzędzie wspomagające proces decyzyjny, to nie do końca jest ono właściwe w realiach rynków finansowych. Podstawowy problem, który rodzi się przy implementacji teorii oczekiwanej użyteczności do opisu zachowań decydentów polega na arbitralnym przyznaniu rozkładów prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych stóp zwrotu dla konkretnych instrumentów finansowych. Tradycyjne miary ryzyka stosowane np. w modelu Markowitza (wariancja stopy zwrotu portfela), czy też same roczne stopy zwrotu pochodzą z danych historycznych. Konfrontując tę wiedzę z hipotezą rynku efektywnego sformułowaną przez Eugene’a Famę, w przypadku istnienia efektywnego rynku jakakolwiek analiza techniczna okazuje się narzędziem zawodnym. Dzisiejsze ceny walorów odnoszą się do ich cen historycznych, jednak prognozowanie ich przyszłych cen na bazie historycznych wartości jest skazane na niepowodzenie. Tym samym inwestorzy działający na rynkach finansowych zazwyczaj podejmują decyzje w warunkach niepewności, nie zaś ryzyka, gdzie rozkład prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń jest w całości znany.

Wcześniejsza analiza paradoksu petersburskiego skłania nas raczej do sformułowania wniosku, że zazwyczaj inwestorzy cechują się awersją do ryzyka, zaś ich funkcja użyteczności jest wklęsła. Rzeczywistość jest jednak znacznie bardziej skomplikowana. Wyzwaniem dla tego założenia jest popularna na całym świecie, również w Polsce, loteria Lotto. Prawdopodobieństwo uzyskania głównej wygranej, tj. trafienia właściwej kombinacji 6 kul z 49 (tzw. „szóstki”) wynosi 1:14 000 000, zatem jest w zasadzie równe zeru. Dlaczego jednak od wielu lat loteria Lotto cieszy się niesłabnącą popularnością na całym świecie? Jednym z proponowanych rozwiązań tego swoistego paradoksu jest hipoteza o tym, że funkcja użyteczności uczestników loterii Lotto jest wypukła dla niskich kwot, zaś wklęsła dla wysokich. Daniel Kahneman we współpracy z Amosem Tversky’m oszacowali, że gdy prawdopodobieństwo zdobycia nagrody w loterii wynosiło 1%, wówczas uczestnicy nadają decyzjom wagę odpowiadającą postrzeganemu przez nich prawdopodobieństwu zdobycia nagrody na poziomie 5,5%.

Czy zatem funkcja użyteczności może odzwierciedlać psychologiczne, moralne, kulturowe aspekty decyzji gracza? O ile pewne aspekty psychologiczne inwestora mogą być reprezentowane przez krzywe użyteczności, to dosyć trudno jest w ramach teorii oczekiwanej użyteczności oddać różnorodność postaw inwestorów wobec zjawisk nieoczekiwanych na rynkach. Chociaż przyjmuje się, że w długim okresie ceny instrumentów finansowych zachowują się zgodnie z prawem regresji do średniej, to na rynkach finansowych pomimo złudzenia posiadania zdarzeń na rynku pod kontrolą, bardzo często dochodzi do anomalii cenowych. Ten rozdźwięk pomiędzy oczekiwaniami a rzeczywistością może prowadzić do dość częstych nieracjonalnych zachowań, jak np. pułapka gracza (gambler’s fallacy), czyli wiary w to, że np. po trzech wypadnięciach orła z rzędu w rzucie monetą prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki jest większe niż 50%. Ten paradoks może objawiać się na rynkach kapitałowych np. w sytuacji występowania jakiegoś długotrwałego trendu poprzez tzw. syndrom Aleksego Iwanowicza (bohatera powieści „Gracz” Fiodora Dostojewskiego), jeśli inwestor wierzy, że trend musi się odwrócić w określonym momencie.

Paradoksy związane z prawdopodobieństwem nauczyły nas bardzo wiele o postrzeganiu rzeczywistości. Inwestorzy podejmują decyzje w odniesieniu do stanu posiadania i mają generalną awersję do ryzyka. Wyjątkiem dla tej reguły jest jednak ich skłonność do astronomicznie nieprawdopodobnych możliwości zarobienia ogromnych pieniędzy. Taki modus operandi oznacza z jednej strony większą skłonność do ryzyka przy większym stanie posiadania, z drugiej zaś konieczność zabezpieczenia uczestników rynków finansowych przed podejmowaniem bardzo niepewnych inwestycji.

Autorzy:

Szymon Wieczorek, członek zarządu Instytutu Studiów Ekonomiczno - Społecznych

Maciej Wysocki, prezes zarządu Instytutu Studiów Ekonomiczno - Społecznych

Zapisz się na PolishBrief.pl

Analizy, opinie i wywiady. Gospodarczy skrót dnia.

1 komentarz

Ludwik Maciejec
Ludwik Maciejec
19 czerwca 2020, 21:46
Wyjątkowo udane przypomnienie zwykle ignorowanych tzw. prawd podstawowych. Więcej takich tekstów !
ODPOWIEDZ

przeczytaj także

© 2020. Wszystkie prawa zastrzeżone

Zaloguj się

Zapamiętaj mnie Zapomniałeś hasło?

Zarejestruj się

Używamy cookies w celach funkcjonalnych, aby ułatwić użytkownikom korzystanie z witryny oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk serwisu. Jeżeli nie blokujesz plików cookies, to zgadzasz się na ich używanie oraz zapisanie w pamięci urządzenia.
Polityka Prywatności    AKCEPTUJĘ